ANNEXE 6 Rappel des caractéristiques du modèle simple utilisé dans le chapitre II.1 R1 l1 B R2 A C L Les caractéristiques du rotor sont les suivantes : Pour l’arbre : • Longueur : L • Rayon : R1 • Masse volumique : ρ • Module de Young : E Pour le disque : • Rayon intérieur : R1 • Rayon extérieur : R2 • Epaisseur : h • Position : l 1• Masse volumique : ρ • Module de Young : E Pour le balourd : • Masse : m u• distance au centre: d = R2 124Les valeurs utilisées pour les applications numériques sont les suivantes : L = 40 cm R1 =1 cm R2 =15 cm h = 3 cm l = L 3 13ρ = 7800 kg / m 11E = 2.10 Pa -4m = 10 kg u Les équations pour ce modèle dans le cas d’un support fixe sont les suivantes : 2⎧ & & &m q − Ω I q + k q = m d f (l ) Ω sin Ωt1 y2 2 1 u 1⎪ (A6.1) ⎨ 2m &q& + Ω I q& + k q = m d f (l ) Ω cosΩt⎪ 2 y2 1 2 u 1⎩ Les solutions de ce système sont la somme des solutions du système homogène associé et des solutions particulières dues au second membre. m &q& − Ω I q& + k q = 0⎧ 1 y2 2 1⎪Système homogène associé : (A6.2)⎨ & & &m q + Ω I q + k q = 0⎪ 2 y2 1 2⎩ rt⎧q = Q e⎪ 1 1Les solutions sont cherchées sous la forme : (A6.3) ⎨ rt⎪q = Q e⎩ 2 2 En remplaçant ces solutions dans le système homogène, il vient : 2⎡ ⎤m r + k − I Ω r ⎡Q ⎤y2 1 = 0 (A6.4) ⎢ ⎥⎢ ⎥2I Ω r m r + k Q⎢ y2 ⎥⎣ 2 ⎦⎣ ⎦ Les autres solutions que la solution triviale ...
ANNEXE 6 Rappel des caractéristiques du modèle simple utilisé dans le chapitre II.1 l R1 1 B R2 L Les caractéristiques du rotor sont les suivantes : Pour l’arbre : L R1 ρ E
• • •
Longueur : Rayon : Masse volumique :
•Module de Young : Pour le disque :•Rayon intérieur : •Rayon extérieur : •Epaisseur : •Position : •Masse volumique : Module de Young : • Pour le balourd : •Masse : distance au centre: •
R1 R2 h l1ρE
mud = R2
124
Les valeurs utilisées pour les applications numériques sont les suivantes : L = 40 cm R1 =1 cm R2 =15 cm h = 3 cm l1=L 3 3 ρ= 7800 kg / m E = 2.1011Pa mu= 10-4kg Les équations pour ce modèle dans le cas d’un support fixe sont les suivantes :
⎧m&q&1Iy2q&2k q1mud f (l1)2sin t ⎪⎨⎩⎪m&q&2−Ω+ΩIy2q&1++k q2==mud f (l1)ΩΩ2cosΩΩt
(A6.1)
Les solutions de ce système sont la somme des solutions du système homogène associé et des solutions particulières dues au second membre.
Système homogène associé :
m&q&1− ΩIy2q&2+k q1=0 ⎪⎨⎪⎧Ω+=m q2y21 2 ⎩&&+I&q k 0 q
Les solutions sont cherchées sous la forme :
rt ⎨⎪⎧q1=Q1er t ⎩⎪q2=Q2e
En remplaçant ces solutions dans le système homogène, il vient :
⎡⎢⎢m r2+rk ⎣Iy2Ω
2 −rmIyΩrk⎤⎥⎥⎡⎣⎢QQ1=⎤⎦⎥0 2+⎦ 2
Les autres solutions que la solution triviale Q1= Q2= 0 sont obtenues pour :
m r2+k det Iy2Ωr
−IΩr y22=0 m r+k
(A6.2)
(A6.3)
(A6.4)
(A6.5)
125
(A6.9)
Lorsque le rotor est en rotation, les racines de l’équation deviennent :
r21⎡=−⎣⎢⎢Ω201+Iy222mΩ²2⎜⎜⎝⎛1−
I r2⎡ 41 1 m² 2=−⎣⎢⎢Ω201+2y22mΩ²2⎜⎜⎝⎛++I2y2ΩΩ2120⎟⎟⎠⎞⎦⎥⎥⎤
k m
Et les fréquences de résonance du rotor à l’arrêt sont :Ω10= Ω20=
Ω1= Ω102+I2y22mΩ²2⎜⎜⎝⎛1−1+I42ym2²ΩΩ2210⎟⎠⎟⎞
2I22yΩ2⎛ m²1 1 4Ω012 Ω10+++⎜⎝⎜2Ω2⎟⎠⎟⎞2 m² Iy2
Ω2=
²⎞ 1m +I4y22ΩΩ1220⎟⎟⎠⎤⎦⎥⎥
Et les fréquences de résonance s’écrivent : rijΩi
m2r4+2 m k+Iy22Ω2r2+k2=0
qui peut s’écrire
Lorsque le rotor est à l’arrêt (Ω= 0) les racines de cette équation sont : 2 2 r10=r=j2Ω120=j2Ω220−k 20
mr2+k2+I2Ω2r20 y2=
soit
(A6.14)
qui peut également s’écrire :
(A6.13)
(A6.6)
(A6.15)
(A6.10)
(A6.11)
Ω1=1 2 Ω2=21
2 ΩI2y2+4 k m+Iy2Ω
Ω2I22y+4 k m−Iy2Ω
(A6.7)
(A6.8)
(A6.12)
126
(A6.16)
Les expressions générales des solutions du système homogène sont alors :
q(t) =j A ejΩ1t−jB e−jΩ1t−jA ejΩ1t+j B e−jΩ1t 1 1 1 2 2
q2(t) =A1ejΩ1t+B1e−jΩ1t+A2ejΩ1t+B2e
−jΩ1t
(A6.17)
où les constantes A1, B1, A2, et B2sont déterminées par les conditions initiales. Le diagramme de Campbell qui représente les fréquences de résonance du rotor en fonction de sa vitesse de rotation peut maintenant être tracé :
Ω10
A
B
Ω2
Ω1
FW
BW
Ω10est la fréquence de résonance du rotor à l’arrêt. A et B sont les points pour lesquels la vitesse de rotation du rotor coïncide avec ses fréquences de résonance.Ω1 etΩ2 sont les fréquences de résonance du rotor lorsque celui-ci tourne à 5000 tr/min. Ces valeurs sont utilisées dans le chapitre II.1.
127
Les applications numériques donnent les valeurs suivantes :
Ω0= 46.02 Hz A = 42 Hz = 2520 tr/min B = 51.48 Hz = 3089 tr/min Ω1= 38.41 Hz = 2305 tr/min Ω2= 55.15 Hz = 3309 tr/min Les solutions particulières du système complet sont maintenant cherchées :
⎧⎪m&q&− ΩI q&+k q= ) (l fm dΩ2sinΩt ⎨⎪⎩m&q&12+ ΩI2y2y&q21+k q1=mu (ld f1)Ω2cosΩt 2 u 1
Les solutions sont cherchées sous la forme : q1=Q1sin t q2=Q2cosΩt
En remplaçant ces fonctions dans le système, il vient :
La vitesse critique d’un rotor soumis à un balourd correspond à la valeur deΩ pour laquelle le déplacement est infini. C’est à dire lorsque le dénominateur est égal à 0 :
Ωc=
k − m Iy2
Cette valeur correspond au point B du diagramme de Campbell.