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Publié par | analyse-mpsi |
Nombre de lectures | 36 |
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Langue | Français |
Extrait
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Suites récurrentes
Exercice 1[ 00328 ][correction]
Etudier la suite définie paru0>0et pour toutn∈N,
Exercice 2[ 00330 ][correction]
Soienta >0,
12
un+1=1+4un
u1=√a,u2=qa+√a,u3=ra+qa+
Montrer que(un)est convergente.
Exercice 3[ 00331 ][correction]
Soit
f:x7→x331+
et(un)la suite définie par
u0∈Ret∀n∈Nun+1=f(un)
√a,
a) Justifier que l’équationf(x) =xpossède trois racines réelles (qu’on
n’exprimera pas).
b) Etudier le signe def(x)−xainsi que la monotonie def.
c) Préciser le comportement de(un)en discutant selon la valeur deu0.
Exercice 4[ 00332 ][correction]
Soient
f:x7→x33x2+3+axa
(aveca >0) et(un)la suite définie par
u0>0et∀n∈N,un+1=f(un)
Enoncés
Etudier les variations def, le signe def(x)−xet en déduire le comportement de
(un).
Exercice 5[ 00333 ][correction]
Soientu0∈]01[et pour toutn∈N,
un+1=un−u2n
Montrer que(un)est monotone de limite nulle. Déterminer les limites des suites
dont les termes généraux sont les suivants
n n
Xu2etY(1−uk)
k
k=0k=0
Exercice 6[ 00334 ][correction]
Soitf: [a b]→[a b]une fonction de classeC1telle que
∀x∈[a b]|f0(x)|<1
1
a) Montrer quefadmet un point fixe uniqueα.
b) Montrer, pour toutu∈[a b], la convergence versαde la suite(un)définie par
u0=uet∀n∈N un+1=f(un)
Exercice 7[ 00335 ][correction]
Soitf: [a b]→[a b]une fonction 1 lipschitzienne etα∈[a b].
On considère la suite définie par
u f(un)
0=αetun+1=un2+
Montrer que(un)converge vers un point fixe def.
Exercice 8[ 00329 ][correction]
Soit(un)la suite définie par
u0∈]04[et∀n∈Nun+1= 4un−un2
a) Montrer que(un)est bornée. Quelles sont les limites possibles de(un)?
b) Montrer que si(un)converge alors(un)est soit stationnaire égale à 0, soit
stationnaire égale à 3.
c) En posantu0 sin= 42α, déterminer les valeurs deu0pour lesquelles la suite
(un)est stationnaire.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Exercice 9[ 00336 ][correction]
Soientρ∈R+etθ∈]−π π].
On considère la suite complexe(zn)définie par
zn+|zn|
=
z0=ρeiθet∀n∈N zn+12
a) Exprimer(zn)à l’aide d’un produit.
b) Déterminer la limite de(zn).
Exercice 10[ 00338 ][correction]
Soit(un)une suite de réels positifs telle que
∀n∈N un+26(21un+un+1)
Montrer que(un)converge. On pourra commencer par étudier la monotonie de
vn= max(un+1 un).
Exercice 11[ 00337 ][correction]
Soient(un)et(vn)les suites récurrentes réelles définies par :
u0 v0∈R+et∀n∈N un+1=√unvn vn+1=un+2vn
Montrer que les suites(un)et(vn)convergent vers une mme limite.
Exercice 12[ 00326 ][correction]
Pourα∈]0 π2], on étudie les suites(un)et(vn)définies par
(u0v0sco=1=αet∀n∈N,(un+1= (un+vn)2
vn+1=√un+1vn
a) Etablir que pour toutn∈N,
n
un=vnsoc2αnetvn=Y2csoαk
k=1
b) Etudiersin2αnvnet en déduire les limites de(un)et(vn).
Enoncés
Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02783 ][correction]
Soit(xn)n∈N?une suite de réels positifs. On pose, pour toutn >0,
yn=rx1+qx2+∙ ∙+√xn
∙
a) Icixn=apour toutn, oùa >0. Etudier la convergence de(yn).
n
b) Mme question dans le cas oùxn=ab2pour toutn, avecb >0.
c) Montrer que(yn)converge si, et seulement si, la suite(x2n−n)est bornée.
Exercice 14Centrale MP[ 02477 ][correction]
Soit(xn)n>1la suite définie par
x1>0et∀n∈N?,xn+1=xn+nxn
2
a) Calculer avec Maple, les 10 premiers termes de la suite pour différentes valeurs
dex1. Commenter.
b) Minorerxn. Si(yn)n>1vérifie la mme relation de récurrence, étudierxn−yn.
En déduire le comportement asymptotique de(xn).
Exercice 15X MP[ 03165 ][correction]
Soient(an)une suite réelle positive, bornée et(un)la suite récurrente définie par
= 1r toutn∈N
u0>0etun+1un+an+ 1pou
Montrer que la suite(un)converge si, et seulement si, la suite(an)converge.
Exercice 16CCP PSI[ 00844 ][correction]
Montrer que la suite réelle(xn)définie parx0∈[a b]et
∀n∈N xn+1=12(f(xn) +xn)
oùfest 1-lipschitzienne de[a b]dans[a b], converge vers un point fixe def.
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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013
Corrections
Corrections
Exercice 1 :[énoncé]
Si(un)converge sa limite`vérifie`= 1 +`24d’où`= 2.
un+1−un=14(un−2)2donc(un)est croissante.
Siu0>2alors(un)diverge vers+∞.
Siu0∈[02]alors on vérifie aisément que(un)majorée par 2 et on conclutest
un→2.
Exercice 2 :[énoncé]
un+1>undonc(un)est croissante. Par récurrence montronsun6a+ 1. La
relation est vraie pourn= 1et l’hérédité s’obtient par
un+1=√a+un6√2a+ 16a+ 1.
Exercice 3 :[énoncé]
a) Il suffit de dresser le tableau de variation def. On noteα < β < γces trois
racines.
b)fest croissante etf(x)x−x−0α+ 0β−0γ+
c)un6un+1⇒f(un)6f(un+1)doncu06f(u0)⇒(un)croissante.
De mmeun>un+1⇒f(un)>f(un+1)doncu0>f(u0)⇒(un)décroissante.
Les seules limites finies possibles pour(un)sontα β γ.
Enfin siu06α(resp.β,γ) alors pour toutn,un6α(resp.β,γ) et de mme
pour>.
Au final on peut conclure :
u0∈]−∞ α[donne(un)décroissant vers−∞.
u0=αdonne(un)constante égale àα.
u0∈]α γ[donne(un)convergeant versβ.
u0=γdonne(un)constante égale àγ.
u0∈]γ+∞[donne(un)croissant vers+∞.
Exercice 4 :[énoncé]
f0(x)est du signe de3(x2−a)2doncfest croissante et par suite(un)est
monotone.
Les racines de l’équationf(x) =xsont0√aet−√a. Ce sont les seules limites
possibles pour(un).
f(x)−xest du signe deax−x3=−x(x− √a)(x+√a).
Siu0∈]0√a]la suite est croissante est majorée par√adonc converge vers√a
Siu0∈[√a+∞[la suite est décroissante et minorée par√adonc converge vers
√a.
3
Exercice 5 :[énoncé]
un+1−un=−un260donc(un)est décroissante. Aisément, on montre que
un∈]01[pour toutn∈Net donc on peut conclure que(un)converge. Sa limite
`vérifie
`=`−`2
d’où`= 0.
et
n n
Xuk2=Xuk−uk+1=u0−un+1→u0
k=0k=0
n n
Y0(1−uk) =kY0uukk+1=uun0+1→0
k= =
Exercice 6 :[énoncé]
a) Soitg: [a b]→Rdéfinie parg(x) =f(x)−x.
gest continue,g(a)>0etg(b)60doncgs’annule en un pointαqui est alors
point fixe def.
Siαetβsont deux points fixes distincts alors par application du théorème des
accroissements finis, il existec∈[a b]tel quef0(c) = 1ce qui est incompatible
avec les hypothèses.
b) La fonctionx7→ |f0(x)|est continue sur le segment[a b], elle y admet donc un
maximum en un pointc∈[a b]et en posantk=|f0(c)|on a
∀x∈[a b]|f0(x)|6kaveck∈[01[
Par l’inégalité des accroissements finis,festklipschitzienne et alors par
récurrence :
∀n∈N|un−α|6kn|u−α| →0
d’où le résultat.
Exercice 7 :[énoncé]
u+1−un= (f(un)−f(un−1)) + (un−un−1)
n2
Puisquefest 1 lipschitzienne on a
|f(un)−f(un−1)|6|un−un−1|
doncun+1−unest du signe deun−un−1,
(en fait la fonction itératrice est croissante).
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